Ҳоло назарияи маҷмӯа ҷузъи математика аст. Ҳамаи мо медонем, ки маҷмӯа ном дорад ҳама гуна маҷмӯи унсурҳои аз ҳам фарқкунандаи фарқкунанда, ки як (ё якчанд) хусусияти умумӣ доранд. Назарияи маҷмӯа хосиятҳо ва робитаҳои маҷмӯаҳоро меомӯзад; Ин соҳаро Болзано ва Кантор таблиғ карданд, ки баъдтар дар асри 20 аз тарафи дигар математикҳо, ба мисли Зермело ва Фраенкел, такмил ёфтанд.
Муҳим он аст, ки ҳар як маҷмӯъ комилан муайян карда шавад, яъне онро бо дақиқӣ муқаррар кардан мумкин аст, новобаста аз он ки ба объект дода мешавад, он ба маҷмӯъ тааллуқ дорад ё не.
- Дар математика ин одатан рост аст. Масалан, агар маҷмӯи рақамҳои ҷуфт аз 1 ва камтар аз 15 ҳисоб карда шаванд, маълум аст, ки ин маҷмӯъ танҳо аз рақамҳои 2, 4, 6, 8, 10, 12 ва 14 иборат хоҳад буд.
- Дар забони умумӣ, гуфтугӯ дар бораи гурӯҳ метавонад бениҳоят ноқистар бошад, зеро агар мо хоҳем, ки гурӯҳи овозхонони беҳтаринро ташкил диҳем, фикрҳо гуногунранг хоҳанд буд ва дар мавриди кӣ ба ин гурӯҳ шомил шудан ва кӣ нахоҳад буд. Баъзе маҷмӯаҳои махсус маҷмӯи холӣ (бидуни унсур) ё маҷмӯи воҳид (танҳо бо як унсур) мебошанд.
Дар объектҳое, ки қисми маҷмӯа мебошанд, аъзо ё элемент номида мешаванд, ва маҷмӯаҳо дар матнҳои хаттӣ, ки дар қавс оварда шудаанд, нишон дода мешаванд: {}. Дар дохили қавс элементҳоро бо вергул ҷудо мекунанд. Онҳоро инчунин диаграммаҳои Венн муаррифӣ кардан мумкин аст, ки маҷмӯаҳои элементҳоро, ки ҳар як маҷмӯаро дар хатти мустаҳкам ва пӯшида, умуман дар шакли давра ташкил медиҳанд, дар бар мегиранд. Вақте ки якчанд хатҳои пӯшида мавҷуданд, ба ҳар кадоми онҳо як ҳарфи калон (A, B, C ва ғайра) дода мешавад ва маҷмӯи глобалии онҳо бо ҳарфи U ифода карда мешавад, ки маънои маҷмӯи умумиро дорад.
Бо маҷмӯаҳо шумо метавонед иҷро кунед амалиёт; онҳо асосӣ иттиҳодия, буриш, фарқият, мукаммал ва маҳсулоти декартӣ мебошанд. Муттаҳидии ду маҷмӯи A ва B ҳамчун маҷмӯи A defined B муайян карда мешавад ва дар он ҳар як унсуре мавҷуд аст, ки ҳадди ақалл дар яке аз онҳо бошад. Муодилаи умумӣ, ки онро ифода мекунад:
- БА= {Хосе, Ҷеронимо}, Б.= {Мария, Мабел, Марсела}; AUB= {Хосе, Джеронимо, Мария, Мабел, Марсела}
- П.= {нок, себ}, C= {лимӯ, афлесун}; Ф.= {гелос, карақат};PUCUF = {нок, себ, лимӯ, афлесун, гелос, currant}
- М={7, 9, 11}, Н={4, 6, 8}; Мун={7, 9, 11, 4, 6, 8}
- Р.= {тӯб, коньки, бел),, Ҷ= {заврақ, тӯб, яхмолак}; RUG= {тӯб, бел, коньки}
- C= {daisy}, С= {carnation}; CUS = {ромишка, гилос}
- C= {daisy}, С= {carnation}; Т.= {шиша}, CUSUT = {маргарита, карасин, шиша}
- Ҷ= {сабз, кабуд, сиёҳ}, Ҳ= {сиёҳ}; ГУХ= {сабз, кабуд, сиёҳ}
- БА={ 1, 3, 5, 7, 9 }; Б.={ 10, 11, 12 }; AUB={ 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }
- Д.= {Сешанбе, Панҷшанбе}, ВА= {Чоршанбе, Ҷумъа}; ВОЗ = {Сешанбе, Чоршанбе, Панҷшанбе, Ҷумъа}
- Б.= {магас, занбӯр, колибр}; C= {гов, саг, асп}; BUC= {магас, занбӯри асал, колибр, гов, саг, асп}
- БА={2, 4, 6, 8}, Б.={1, 2, 3, 4}; AUB={1, 2, 3, 4, 6, 8}
- П.= {миз, курсӣ}, Савол= {миз, курсӣ}; PUQ= {миз, курсӣ}
- БА= {нон}, B = {панир}; AUB= {нон, панир}
- БА={20, 30, 40}, Б.= {5, 15}; AUB ={5, 15, 20, 30, 40}
- М= {Январ, феврал, март, апрел}, Н= {Ноябр, декабр}; Мун= {Январ, Феврал, март, апрел, ноябр, декабр}
- Ф.={12, 22, 32, 42}, Ҷ= {a, e, i, o, u}; ХУБ= {12, 22, 32, 42, a, e, i, o, u}
- БА= {тобистон}, Б.= {зимистон}; AUB= {тобистон, зимистон}
- С= {пойафзол, шаппак, флип флоп}, Р.= {ҷома}; ҶАНУБ= {пойафзол, таппак, флип-флоп, ҷома}
- Ҳ= {Душанбе, сешанбе}, Р.= {Душанбе, сешанбе}, Д.= {Душанбе, сешанбе}; ХУРУД= {Душанбе, сешанбе}
- П.= {сурх, кабуд}, Савол= {сабз, зард}, PUQ= {сурх, кабуд, сабз, зард}
